Hallo und herzlich willkommen zu der Vorlesung Mathematik für Physikstudierende C.

Wir haben uns in den letzten Vorlesungen mit dem Lebesque-Mass bzw. mit dem Lebesque-Integral

beschäftigt.

Und speziell für dieses Lebesque-Integral wollen wir jetzt Integrationstechniken entwickeln,

mit denen wir über mehrdimensionale Funktionen bzw. Funktionen mehrer Variablen und damit

auch Volumen integrieren können. Die Motivation dafür ist eigentlich eine ganz einfache Überlegung.

Und zwar, wenn wir hier oder die Überlegung wird uns auf das sogenannte Prinzip von Cavalieri führen

und zwar, wenn wir hier einen Körper haben oder eine Fläche in dem Fall und wir wollen darüber

integrieren bzw. wir wollen die Fläche hier herausfinden, dann haben wir hier zwei Achsen.

Das ist einmal R und das ist einmal R. Das gibt uns den R² und dann haben wir mehr oder

weniger drei Maße zur Verfügung. Und zwar haben wir hier einmal, sagen wir mal, sogar

das ist vielleicht R hoch N und das ist R hoch M, dann haben wir es ein bisschen allgemeiner.

Dann haben wir hier das Maß lambda n zur Verfügung, also das Lebesque-Maß auf dem R hoch N. Dann

haben wir hier das Lebesque-Maß auf dem R hoch M, das lambda m. Und natürlich auf dem Raum selber

haben wir das Lebesque-Maß lambda n plus M. Und wir haben jetzt hier diese Menge, das ist E,

meinetwegen nennen wir die. Und wir wollen im Endeffekt auf das, was wir hier rauswollen, ist lambda n plus M

von E zu bestimmen. Und wie wir das tun wollen oder was naheliegend ist, ist zu sagen, naja, wenn

wir jetzt das Volumen oder die Fläche zu berechnen, das ist vielleicht ein bisschen schwer, machen wir

noch stattdessen hier jeweils so Striche durch oder so Schnitte, zerteilen praktisch das ganze

Volumen in Schnitte und solche, die wir dann bezüglich lambda n messen. Weil jeder von

diesen Schnittmengen hier können wir hier runterprojizieren und hier messen. Dann könnten wir hier

drüber integrieren. Äquivalent können wir natürlich auch diese Schnitte hier betrachten,

die andere Richtung und hier messen. Heißt, wir bekommen einmal irgendwie lambda n von lambda n

von irgendwas und hier vielleicht noch ein Integral dazwischen, d lambda n. Und einmal bekommen wir lambda n

von bzw. Entschuldigung, jetzt habe ich es falsch aufgeschrieben. Wir bekommen einmal das Integral

über lambda n von irgendwas und das kriegen wir hier für alle y, also hängt es von y ab,

d lambda m von y und auf der anderen Möglichkeit bekommen wir das Integral lambda n von irgendwas

anderem, was von x abhängt, d lambda n von x. Und was dieses irgendwas sein soll hier und wie das

Ganze dann funktioniert und ob das alles dann genau vielleicht dem hier ist, das wollen wir

entwickeln. Da wollen wir die Theorie dazu entwickeln. Das hilft uns dann eben Volumen

zu integrieren und darüber dann auch später über den Satz von Fubini Funktionen. Gut,

dazu brauchen wir aber zunächst ein bisschen Theorie. Und das erste, was wir uns hier anschauen,

sind Produkt-Sigma-Algebren bzw. Produkt-Algebren ganz allgemein. Aber nehmen wir es mal Produkt

Sigma-Algebren und zwar ist unsere Situation hier die folgende. Wir haben zwei Sigma-Algebren,

das ist ganz abstrakt, Sigma 1, Sigma 2, Sigma-Algebren auf Mengen Omega 1 und Omega 2. Das erste,

was wir jetzt hier betrachten werden, ist ganz einfach mal das kathesische Produkt.

Also das ist jetzt Standard. Das sind einfach alle Mengen A1 x A2, sodass A1 ein Sigma 1 ist

und in A2 ein Sigma 2. Das ist nichts besonderes, das ist einfach das kathesische Produkt aus

Mengensystemen. Aber für dieses kathesische Produkt hier, ist ja ein Teilmengensystem von

Mengen aus, also das hier ist eine Teilmenge der Potenzmenge von Omega 1 x Omega 2. Heißt,

es ist ein Teilmengensystem und das gibt uns noch keine Sigma-Algebra unbedingt,

im Allgemeinen nicht. Aber dann bilden wir einfach wieder die davon erzeugte Sigma-Algebra,

indem wir den Sigma-Operator anwenden. Heißt, die kleinste Sigma-Algebra, die von diesem

Teilmengensystem enthält. Genau, über das kathesische Produkt betrachten wir und dann

Sigma 1. So, jetzt kommt dieses Symbol wieder, da sage ich gleich etwas dazu. Sigma 2 wird

definiert als die Sigma-Algebra vom kathesischen Produkt, der einzelnen Sigma-Algebra. Jetzt

steht hier das Tensorprodukt oder dasselbe Symbol. Was ich hier hinschrieben habe, ist

im Allgemeinen natürlich kein Tensorprodukt oder sowas, weil wir haben ja keine Vektorräume.

Trotzdem sind die Strukturen, die wir uns erzeugen werden, auch später mit dem Produktmaß,

sehr ähnlich. Deshalb benutzen viele in der Literatur, und wir werden es jetzt auch machen,